Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）已知DE=2，AD=1.8，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质及圆周角定理证明，分别得出ED=BE，EB=EC进而得出答案；
（2）首先利用相似三角形的判定与性质得出BD的长，进而利用勾股定理得出AC的长．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC；
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴ED=BE．
∴EB=EC，
即DE=$\frac{1}{2}$BC；

（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BC²=BD•BA，
∵DE=2，AD=1.8，
∴BC=4，
∴4²=BD•（BD+1.8），
解得：BD=3.2或-5（负数不合题意舍去），
则AB=3.2+1.8=5，
故AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．

点评 此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出BD的长是解题关键．