分析 （1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如备用图1，作辅助线，求出△ABM面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点M的坐标；
（3）“存在唯一一点N，使得ON⊥DN”的含义是，以OD为直径的圆与直线AB相切于点N，由圆周角定理可知，此时∠OND=90°且点N为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．
解答 解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=-x2+1，直线解析式为y=x-1．
联立两个解析式，得：-x2+1=x-1，
解得：x=-2或x=1，
当x=-2时，y=x-1=-3；当x=1时，y=x-1=0，
∴A（-2，-3），B（1，0）．
（2）设M（x，-x2+1）．
如备用图1所示，过点M作MP∥y轴，交直线AB于点P，则P（x，x-1）．
∴PM=yM-yP=（-x2+1）-（x-1）=-x2-x+2．
S△ABM=S△PMA+S△PMB=$\frac{1}{2}$PM（xM-xA）+$\frac{1}{2}$PM（xB-xM）=$\frac{1}{2}$PM（xB-xA）=$\frac{3}{2}$PM，
∴S△ABM=$\frac{3}{2}$（-x2-x+2）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{27}{8}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，yM=-x2+1=$\frac{3}{4}$．
∴△ABM面积最大值为$\frac{27}{8}$，此时点M坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
（3）设直线AB：y=kx-1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（$\frac{1}{k}$，0），F（0，-1），OE=$\frac{1}{k}$，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{（\frac{1}{k}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．
令y=-x2+（k-1）x+k=0，即（-x+k）（x+1）=0，解得：x=k或x=-1．
∴D（k，0），OD=k．
存在唯一一点N，使得ON⊥DN，如备用图2所示，
则以OD为直径的圆与直线AB相切于点N，根据圆周角定理，此时∠OND=90°．
设点S为OC中点，连接NS，则NS⊥EF，NS=DS=OS=$\frac{k}{2}$．
∴ES=OE-OS=$\frac{1}{k}$-$\frac{k}{2}$．
∵∠NES=∠FEO，∠ENS=∠EOF=90°，
∴△ENS∽△EOF，
∴$\frac{NS}{OF}$=$\frac{ES}{EF}$，即：$\frac{\frac{k}{2}}{1}$=$\frac{\frac{1}{k}-\frac{k}{2}}{\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}}$，
解得：k=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴存在唯一一点N，使得ON⊥DN，此时k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
点评 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点N，使得ON⊥DN”的含义．
举一反三单元同步过关卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，等边△OAB与等边△BCD的边OB，BD在x轴正半轴上，点A和点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，连接OC交AB于点E，则$\frac{CE}{OE}$=$\sqrt{2}$-1．查看答案和解析>>
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如图，OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于E，若DE=5，则D到OA的距离为5．
如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为（ ）
