Question

2．如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，O为原点，△AOB绕点O顺时针方向旋转90°后得到△COD．
（1）求A、B、C、D四点的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）设E为抛物线的顶点，连接DE，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数解析式可得A、B的坐标，再由旋转的性质可得C、D的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（ x-x₂），根据A、B、C三点坐标，可确定抛物线解析式；
（3）作EF⊥y轴于点F，先判断∠EDC=90°，然后分类讨论：①当$\frac{OC}{DC}=\frac{OD}{DP}$时，△ODC∽△DPC，②当$\frac{OC}{DP}=\frac{OD}{DC}$时，△ODC∽△DCP，分别求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）在y=3x+3中，令y=0，得x=-1，令x=0，得y=3，
则可得：A（0，3），B（-1，0），
由旋转的性质可知：OD=OB=1，OC=OA=3，
则可得：C（3，0），D（0，1）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（ x-x₂），
∵点B（-1，0），C（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3），
把A（0，3）代入y=a（x+1）（x-3），得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3），
即y=-x²+2x+3．

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴E（1，4），
作EF⊥y轴于点F，则EF=1，OF=4，
∴FD=4-1=3，
∵tan∠ADE=$\frac{1}{3}$，tan∠DCO=$\frac{1}{3}$，
∴∠ADE=∠DCO，
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠ODC+∠ADE=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠EDC=∠DOC=90°，
①当$\frac{OC}{DC}=\frac{OD}{DP}$时，△ODC∽△DPC，
∵DC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{DP}$，
∴DP=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
过点P作PG⊥y轴于G，
∵tan∠EDF=$\frac{1}{3}$=$\frac{PG}{DG}$，
∴设PG=x，则DG=3x
∵DG²+PG²=DP²，
∴9x²+x²=$\frac{10}{9}$，
∴x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-$\frac{1}{3}$（舍去），
∴DE=3×$\frac{1}{3}$=1，
∴OE=1+1=2，
∴P（$\frac{1}{3}$，2），
②当$\frac{OC}{DP}=\frac{OD}{DC}$时，△ODC∽△DCP，
∴$\frac{3}{DP}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴DP=$3\sqrt{10}$，
∵DE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$＜3$\sqrt{10}$，
∴不合题意舍去，
∴存在点P，当P为（$\frac{1}{3}$，2）时，以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及勾股定理得知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用．