分析 (1)根据一次函数解析式可得A、B的坐标,再由旋转的性质可得C、D的坐标;
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-x1)( x-x2),根据A、B、C三点坐标,可确定抛物线解析式;
(3)作EF⊥y轴于点F,先判断∠EDC=90°,然后分类讨论:①当$\frac{OC}{DC}=\frac{OD}{DP}$时,△ODC∽△DPC,②当$\frac{OC}{DP}=\frac{OD}{DC}$时,△ODC∽△DCP,分别求出点P的坐标即可.
解答 解:(1)在y=3x+3中,令y=0,得x=-1,令x=0,得y=3,
则可得:A(0,3),B(-1,0),
由旋转的性质可知:OD=OB=1,OC=OA=3,
则可得:C(3,0),D(0,1);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-x1)( x-x2),
∵点B(-1,0),C(3,0),
∴y=a(x+1)(x-3),
把A(0,3)代入y=a(x+1)(x-3),得a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3),
即y=-x2+2x+3.
(3)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴E(1,4),
作EF⊥y轴于点F,则EF=1,OF=4,
∴FD=4-1=3,
∵tan∠ADE=$\frac{1}{3}$,tan∠DCO=$\frac{1}{3}$,
∴∠ADE=∠DCO,
∵∠ODC+∠OCD=90°,
∴∠ODC+∠ADE=90°,
∴∠CDE=90°,
∴∠EDC=∠DOC=90°,①当$\frac{OC}{DC}=\frac{OD}{DP}$时,△ODC∽△DPC,
∵DC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{DP}$,
∴DP=$\frac{\sqrt{10}}{3}$,
过点P作PG⊥y轴于G,
∵tan∠EDF=$\frac{1}{3}$=$\frac{PG}{DG}$,
∴设PG=x,则DG=3x
∵DG2+PG2=DP2,
∴9x2+x2=$\frac{10}{9}$,
∴x1=$\frac{1}{3}$,x2=-$\frac{1}{3}$(舍去),
∴DE=3×$\frac{1}{3}$=1,
∴OE=1+1=2,
∴P($\frac{1}{3}$,2),
②当$\frac{OC}{DP}=\frac{OD}{DC}$时,△ODC∽△DCP,
∴$\frac{3}{DP}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$,
∴DP=$3\sqrt{10}$,
∵DE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$<3$\sqrt{10}$,
∴不合题意舍去,
∴存在点P,当P为($\frac{1}{3}$,2)时,以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似.
点评 本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及勾股定理得知识,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | k+b=6,kb=-5 | B. | k+b=-5,kb=-6 | C. | k+b=6,kb=5 | D. | k+b=-5,kb=6 |
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