Question

10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=90°，∠ABC=105°．若AB=5$\sqrt{6}$，则△ABD外心与△BCD外心的距离为何？（　　）

• A． 5
• B． 5$\sqrt{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，连接AC，作DF⊥BC于F，AC与BD、DF交于点E、G，先证明E是△ABD外心，G是△BCD外心，在RT△EGD中，根据tan∠EDG=$\frac{EG}{ED}$即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC，作DF⊥BC于F，AC与BD、DF交于点E、G．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，
∴点E是△BAD的外心，点G是△BCD的外心，
在RT△ABD中，∵AB=AD=5$\sqrt{6}$，
∴BD=10$\sqrt{3}$，
∴BE=DE=5$\sqrt{3}$，
在RT△EDG中，∵∠DEG=90°，∠EDG=30°，ED=5$\sqrt{3}$，
∴tan30°=$\frac{EG}{ED}$，
∴EG=5．
∴△ABD外心与△BCD外心的距离为5．
故选A．

点评 本题考查三角形的外接圆、外心、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是掌握特殊三角形的外心的位置，属于中考常考题型．