Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

(1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值．

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．　1分 　　∵AB∥CD， 　　∴DG＝CH，DG∥CH． 　　∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． 　　∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， 　　∴△AGD≌△BHC(HL)． 　　∴AG＝BH＝＝3．　2分 　　∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 　　∴DG＝4． 　　∴．　3分 　　(2)∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 　　∴ME＝NF，ME∥NF． 　　∴四边形MEFN为矩形． 　　∵AB∥CD，AD＝BC， 　　∴∠A＝∠B． 　　∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， 　　∴△MEA≌△NFB(AAS)． 　　∴AE＝BF．　4分 　　设AE＝x，则EF＝7－2x．　5分 　　∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， 　　∴△MEA∽△DGA． 　　∴． 　　∴ME＝．　6分 　　∴．　8分 　　当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．　9分 　　(3)能．　10分 　　由(2)可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． 　　若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 　　即7－2x．解，得．　11分 　　∴EF＝＜4． 　　∴四边形MEFN能为正方形，其面积为．