Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC．
（1）若CA=CB，求∠B的度数；
（2）若AB⊥AC，DC=8，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：梯形,勾股定理

专题：

分析：（1）由CA=CB，可以得出∠B=∠CAB，由等腰梯的性质可以得出∠B=∠BCD，由AD∥BC，∠DAC=∠ACB，得出∠B=2∠ACB，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2）作AE⊥BC，运用勾股定理求出AE的值和BC的值，根据梯形的面积公式求出其值即可．

解答：解：（1）∵AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠BCD．
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB．
∴∠BCD=2∠ACB．
∴∠B=2∠ACB．
∵∠BCD+∠ACB+∠B=180°，
∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=36°，
∴∠B=72°．
答：∠B=72°；
（2）作AE⊥BC于E．
∴∠AEB=90°．
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴2∠ACB+∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠B=60°．
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=4

3

．
∴EC=12，
∴BC=16
S_梯形ABCD=

1

2

（8+16）×4

3

=48

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用等腰梯形的性质是关键．