Question

3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（15-5$\sqrt{5}$）cm．

Answer 1

分析 先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．

解答 解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×10=5$\sqrt{5}$-5，
∴PB=AB-PA=10-（5$\sqrt{5}$-5）=（15-5$\sqrt{5}$）cm．
故答案为（15-5$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．