Question

5．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a或$\frac{1}{2}$a．

Answer 1

分析 题中没有指明该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，故应该分情况进行分析．

解答 解：显然三角形不可能为直角三角形，故分两种情况考虑：
（i）当三角形是锐角三角形时，高与另一腰的夹角为30°，则其顶角是60°，
所以该等腰三角形是等边三角形，腰是a，则底边上的高是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
（ii）当三角形是钝角时，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，
则等腰三角形的顶角的外角是60°，因而底角是30°，过顶角顶点作底边的垂线，则底边上的高是$\frac{1}{2}$a；
所以底边上的高是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a或$\frac{1}{2}$a．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a或$\frac{1}{2}$a．

点评 此题考查了含30度角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质的综合运用．进行分类讨论是解题的关键．