在直角坐标系xOy中.定义点C(a.b)为抛物线L:y=ax2+bx的特征点坐标．(1)已知抛物线L经过点A.求出它的特征点坐标,(2)若抛物线L1:y=ax2+bx的位置如图所示:①抛物线L1:y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为y=-ax2+bx,②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上.试求a.b之间的关系式,③在②的条件下.已知抛物线L1.L2与x轴有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax²+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（-2，-2）、B（-4，0），求出它的特征点坐标；
（2）若抛物线L₁：y=ax²+bx的位置如图所示：
①抛物线L₁：y=ax²+bx关于原点O对称的抛物线L₂的解析式为y=-ax²+bx；
②若抛物线L₁的特征点C在抛物线L₂的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L₁、L₂与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．

分析（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；
（2）①由抛物线L₁：y=ax²+bx与抛物线L₂关于原点O对称，可将y换成-y，将x换成-x，整理后即可得出结论；
②根据抛物线L₂的解析式可找出它的对称轴为：x=$\frac{b}{2a}$，由抛物线L₁的特征点C在抛物线L₂的对称轴上可得出a=$\frac{b}{2a}$，变形后即可得出结论；
③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值．

解答解：（1）将点A（-2，-2）、B（-4，0）代入到抛物线解析式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a-2b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线L的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x，
∴它的特征点为（$\frac{1}{2}$，2）．
（2）①∵抛物线L₁：y=ax²+bx与抛物线L₂关于原点O对称，
∴抛物线L₂的解析式为-y=a（-x）²+b（-x），即y=-ax²+bx．
故答案为：y=-ax²+bx．
②∵抛物线L₂的对称轴为直线：x=-$\frac{b}{2×（-a）}$=$\frac{b}{2a}$．
∴当抛物线L₁的特征点C（a，b）在抛物线L₂的对称轴上时，有a=$\frac{b}{2a}$，
∴a与b的关系式为b=2a²．
③∵抛物线L₁、L₂与x轴有两个不同的交点M、N，
∴在抛物线L₁：y=ax²+bx中，令y=0，即ax²+bx=0，
解得：x₁=-$\frac{b}{a}$，x₂=0（舍去），
即点M（-$\frac{b}{a}$，0）；
在抛物线L₂：y=-ax²+bx中，令y=0，即-ax²+bx=0，
解得：x₁=$\frac{b}{a}$，x₂=0（舍去），
即点N（$\frac{b}{a}$，0）．
∵b=2a²，
∴点M（-2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a²）．
∴MN=2a-（-2a）=4a，MC=$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$，NC=$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$．
因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：
（i）MC=MN，此时有：$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$=4a，即9a²+4a⁴=16a²，
解得：a=0，或a=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）NC=MN，此时有：$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$=4a，即a²+4a⁴=16a²，
解得：a=0，或a=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{15}}{2}$；
（iii）MC=NC，此时有：$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$=$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$，即9a²=a²，
解得：a=0，
又∵a＜0，
∴此情况不存在．
综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为-$\frac{\sqrt{7}}{2}$或-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质以及解一元高次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）①明白关于原点对称点的特征；②利用二次函数的性质找出对称轴关系式；③分情况讨论求值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，首先根据特征点的定义找出a、b之间的关系，再结合两点间的距离公式以及等腰三角形的性质找出关于a的一元高次方程，解方程即可得出结论．

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