【题目】(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是的平分线上一点,若,求证:为等腰三角形.下面给出此问题一种证明的思路,你可以按这一思路继续完成证明,也可以选择另外的方法证明此结论.证明:在AB边上截取AE=MC,连接ME,在正方形ABCD中,,AB=BC,(下面请你连接AN,完成余下的证明过程)
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是的平分线上一点,则当时,试探究是何种特殊三角形,并证明探究结论.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正边形,试猜想:当的大小为多少时,(1)中的结论仍然成立?
【答案】(1)见解析;(2)为等腰三角形,理由见解析;(2).理由见解析
【解析】
(1)要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN;
(2)同(1),要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN;
(3)由(1)(2)可知,∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角,即等于时,结论AM=MN仍然成立.
(1)证明:如图1,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM,
∴∠BEM=45°,
∴∠AEM=135°,
∵N是∠DCP的平分线上一点,
∴∠NCP=45°,
∴∠MCN=135°,
在△AEM与△MCN中,
,
∴△AEM≌△MCN(ASA),
∴AM=MN;
∴为等腰三角形.
(2)为等腰三角形,
证明:如图2,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM,
∴∠BEM=60°,
∴∠AEM=120°,
∵N是∠ACP的平分线上一点,
∴∠ACN=60°,
∴∠MCN=120°,
在△AEM与△MCN中,
,
∴△AEM≌△MCN(ASA),
∴AM=MN;
∴为等腰三角形.
(3)当∠AMN=时,结论为等腰三角形仍然成立.
∵当AM=MN时,△AEM≌△MCN,
此时∠NMC=∠MAE,
又∵∠AMN=180°-∠NMC-∠AMB,∠MAE=180°-∠BAM-∠AMB,
∴∠AMN=∠B=,
∴将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则
当∠AMN=时,结论为等腰三角形仍然成立.
故答案为:.
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【题目】阅读下列材料并完成任务:
(1)有理化因式:两个含有根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式.
例如:的有理化因式是;的有理化因式是.
(2)分母有理化:分母有理化又称“有理化分母”,也就是把分母中的根号化去。指的是如果代数式中分母有根号,那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式,达到化去分母中根号的目的.
如:;.
知识运用:
(1)填空:的有理化因式是________________.
(2)将下列各式分母有理化:
①
②
③
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【题目】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)
(1)先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称?若是,直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】主题班会上,王老师出示了如图所示的一幅漫画,经过同学们的一番热议,达成以下四个观点:
A.放下自我,彼此尊重; B.放下利益,彼此平衡;
C.放下性格,彼此成就; D.合理竞争,合作双赢.
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况,小明绘制了下面两幅不完整的图表,请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
观点 | 频数 | 频率 |
A | a | 0.2 |
B | 12 | 0.24 |
C | 8 | b |
D | 20 | 0.4 |
(1)参加本次讨论的学生共有 人;表中a= ,b= ;
(2)在扇形统计图中,求D所在扇形的圆心角的度数;
(3)现准备从A,B,C,D四个观点中任选两个作为演讲主题,请用列表或画树状图的方法求选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率.
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【题目】如图,在ABCD中 过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.
(1)求证:△ABF∽△BEC;
(2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的长.
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【题目】某校在“垃圾分类”宣传培训后,对学生知晓情况进行了一次测试,其测试成绩按照标准划分为四个等级:A 优秀,B 良好,C 合格,D 不合格.为了了解该校学生的成绩状况,对在校学生进行随机抽样调查,调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图:
请结合统计图回答下列问题:
(1)该校抽样调查的学生人数为 人;
(2)请补全条形统计图;
(3)样本中,学生成绩的中位数所在等级是 ;(填“A”、“B”、“C”或“D”)
(4)该校共有学生3000人,估计全校测试成绩为优秀和良好的学生共有 人.
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【题目】已知是等腰直角三角形,,点是的中点,延长至点,使,连接(如图①).
(1)求证:≌;
(2)已知点是的中点,连接(如图②).
①求证: ≌;
②如图③,延长至点,使,连接,求证:.
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