Question

7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AD=$\sqrt{5}$，∠CAD=∠ABC=α，且tanα=$\frac{1}{2}$，则BD的长为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先解Rt△CAD，由tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，可设CD=x，则AC=2x，根据勾股定理得出x²+（2x）²=（$\sqrt{5}$）²，求出x=1，那么CD=1，AC=2．再解Rt△CAB，由tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求出BC=4，然后根据BD=BC-CD即可求解．

解答 解：∵在Rt△CAD中，∠C=90°，tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴可设CD=x，则AC=2x，
∵AD=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理得：x²+（2x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得x=1，
∴CD=1，AC=2．
∵在Rt△CAB中，∠C=90°，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=4，
∴BD=BC-CD=4-1=3．
故选B．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，能通过解直角三角形求出BC、CD的长度是解此题的关键．