Question

15．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（3，0），
∴ON=3，
∵点M是ON的中点，
∴OM=1.5，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．