Question

6．在平面直角坐标系中，点A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），B（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C₁的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C₂、C₃；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．

解答 解：如图，
，
∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=-x+b，
∵点A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），B（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
∴AB的中点坐标是（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
把x=2$\sqrt{2}$，y=2$\sqrt{2}$代入y=-x+b，
解得b=4$\sqrt{2}$，
∴AB的中垂线所在的直线是y=-x+4$\sqrt{2}$，
∴C₁（4$\sqrt{2}$，0）
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C₂、C₃；
AB=$\sqrt{{（3\sqrt{2}-\sqrt{2}）}^{2}{+（3\sqrt{2}-\sqrt{2}）}^{2}}$=4，
∵3$\sqrt{2}$＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．

点评 （1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．