如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A两点．(1)求抛物线的解析式,(2)在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图(1).若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形.当平行四边形ODAE的面积为6时.请判断平行四边形ODAE是否为菱形?说明理由．②如图(2).直线y=12x+3与抛物线交于点Q.C两点.过点D作直线DF⊥x轴于点H.交QC于点F．请问是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=

x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为

：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．

解答：解：（1）把点A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y=ax²+bx+3，
得

16a-4b+3=0

a-b+3=0

，解得

，
∴抛物线的解析式为：y=

x²+

x+3．

（2）①如答图2-1，过点D作DH⊥x轴于点H．

∵S_?ODAE=6，OA=4，
∴S_△AOD=

OA•DH=3，
∴DH=

．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴

x²+

x+3=-

，
解得：x₁=-2，x₂=-3．
∴点D坐标为（-2，-

）或（-3，-

）．
当点D为（-2，-

）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-

）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2-2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=

：2．

设D（m，

m²+

m+3）（m＜0），则F（m，

m+3）．
∴CN=-m，NF=-

m
∴CF=

CN2+NF2

m．
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴

，
∴DF=

CF=-

m．
∴DN=NF+DF=-

m=-

m．
又DN=3-（

m²+

m+3）=-

m²-

m，
∴-

m²-

m=-

m
解得：m=-

或m=0（舍去）
∴

m²+

m+3=-

∴D（-

，-

）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（-

，-

）．

点评：本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．

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