Question

13．（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，请判断四边形CODP的形状并进行证明．
（2）如图2，如果题目中的矩形变为菱形，结论变为了什么图形？写出猜想并进行证明．
（3）如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又变为了什么图形？写出猜想并进行证明．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出OD=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出OD=OC，∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；

解答 解：（1）四边形CODP的形状是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）四边形CODP的形状是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四边形CODP是正方形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．