Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴与x轴交于点B．

（1）求点B的坐标；

（2）当m＞0时，过A点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（C在D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝2，求抛物线的解析式；

（3）若抛物线与线段AB恰只有一个公共点，则请结合函数图象，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)（﹣2，0）；(2) y＝x2+4x+5；(3) 0＜m＜或m＝．

【解析】

（1）利用对称轴公式求得对称轴，即可求得B的坐标；

（2）先根据对称轴求出x1+x2＝﹣4，结合x2﹣x1＝2，即可求出x1和x2的值，从而可求出C（﹣3，2），D（﹣1，2），然后用待定系数法求解即可；

（3）当m<0时不合题意；当m＞0，分两种情况讨论，结合图象即可求得．

解：（1）∵抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，

∴对称轴与x轴交点B的坐标为（﹣2，0）；

（2）由题意可知，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，且C在D的左边，

∴＝﹣2，

∴x1+x2＝﹣4，

∵x2﹣x1＝2，

∴x1＝﹣3，x2＝﹣1，

∵A（0，2），且过A的直线l平行于x轴，

∴C（﹣3，2），D（﹣1，2），

将D点代入抛物线，得m﹣4m+5m＝2，

解，得m＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+5；

（3）∵A（0，2），B（﹣2，0），

∴线段AB在x轴上方，直线AB＝x+2，

函数y＝mx2+4mx+5m中，△＝（4m）2﹣4m5m＝﹣4m2＜0，

∴抛物线与x轴无交点，

当m＜0时，抛物线开口向下，顶点在x轴下方，与线段AB为交点，

当m＞0时，抛物线开口向上，顶点在x轴上方，若抛物线与AB有一个交点，有两种情况：

①如图1，抛物线与AB相切时，则mx2+4mx+5m＝x+2整理得，mx2+（4m﹣1）x+5m﹣2＝0，

△＝（4m﹣1）2﹣4m（5m﹣2）＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），

②抛物线与y轴的交点在O、A之间，即0＜5m＜2，解得0＜m＜，

综上所述，m的取值范围是 0＜m＜或m＝．