Question

【题目】已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交点于C（0，-3）．

（1）确定该抛物线的解析式，并求出顶点D的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M使得∠AMC＝90°，请求出满足条件的所有的点M的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，使得∠APB＝∠ACO ?若存在，请求出P点的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2-2x-3，顶点D（1，-4）；（2）M（1，-1）或(1，-2)；（3）存在，P点横坐标 1+或1-．

【解析】

（1）由抛物线与轴的两个交点已知，设抛物线为把C的坐标代入即可得到答案，

（2）由抛物线的对称轴，设过作交对称轴于，利用勾股定理列方程可得到答案，

（3）以AB为底边，作顶角为2∠ACO的等腰三角形HAB，以H为圆心，HA为半径作⊙H，与抛物线的交点为P，则满足∠APB=∠ACO，对称轴与交于点 ，求解的坐标，利用HP=HA列方程求解即可．

解：（1） 抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），

设抛物线为：

把C（0，-3）代入得：

抛物线为：

抛物线的顶点为：

（2）由（1）知：抛物线的对称轴为： 且与轴交于点E，

设

过作交对称轴于，

则

解得：

或

（3）存在点P的坐标使得∠APB=∠ACO成立，

如图，以AB为底边，作顶角为2∠ACO的等腰三角形HAB，以H为圆心，HA为半径作⊙H，与抛物线的交点为P，则满足∠APB=∠ACO，对称轴与交于点 ，

当点H在AB上方时，

H（1，6）．

设P（x，y），其中

由HP=HA，得

∴

∴

∴y=0（舍去）或y=11，

由，

解得

∴P点的横坐标为：