【题目】如图,抛物线与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,已知抛物线的对称轴所在的直线是
,点B的坐标为
抛物线的解析式是______;
若点P是直线BC下方抛物线上一动点,当
时,求出点P的坐标;
若M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在点N,使得点B,C,M,N构成的四边形是菱形?若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
点坐标为
;(3)在抛物线上不存在点N,使得点B,C,M,N构成的四边形是菱形,见解析.
【解析】
(1)利用抛物线对称性得到点A( ,0),然后利用交点式写出抛物线解析式;
(2)如图,∠ABP=2∠ABC,直线BP交y轴于E,作C点关于x轴的对称轴点D,DH⊥BE于H,则∠ABC=∠ABD,∠ABD=∠PBD,则OD=DH=2,设DE=t,利用相似比表示出EH=1+t,根据勾股定理得到22+(1+
t)2=t2,解得t1=﹣2,t2=
,从而得到E(0,
),利用待定系数法得直线BE的解析式为y=
x﹣
,然后解方程组
得P点坐标;
(3)若BC为对角线,易得点B,C,M,N构成的四边形不是菱形;若BC为边,则CN∥BM,则CN= ,而BC=2
,利用BC≠CN可判断点B,C,M,N构成的四边形不可能为菱形.
解:点A与点
关于直线是
,
点
,
抛物线解析式为
,
即;
故答案为;
如图,
,
直线BP交y轴于E,作C点关于x轴的对称轴点D,于H,
则,
,
,
当时,
,则
,
,
设,
,
∽
,
,即
,则
,
在中,
,解得
,
,
,
,
设直线BE的解析式为,
把,
代入得
,
直线BE的解析式为
,
解方程组得
或
,
点坐标为
;
在抛物线上不存在点N,使得点B,C,M,N构成的四边形是菱形.
理由如下:
若BC为对角线,易得点B,C,M,N构成的四边形不是菱形;
若BC为边,则,则
,而
,所以点B,C,M,N构成的四边形不可能为菱形.
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【题目】如图,在△
中,
,
为斜边
上的中点,连接
,以
为直径作⊙
,分别与
、
交于点
、
.过点
作
⊥
,垂足为点
.
(1)求证:为⊙
的切线;
(2)连接,若
,
,求
的长.
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【题目】如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;
(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.
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【题目】天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机,进价为100元在元旦即将来临之际,开展了市场调查,当蓝牙耳机销售单价是180元时,平均每月的销售量是200件,若销售单价每降低2元,平均每月就可以多售出10件.
设每件商品降价x元,该网店平均每月获得的利润为y元,请写出y与x元之间的函数关系;
该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大,最大利润是多少元?
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【题目】如图,一座大桥的两端位于河的 A、B 两点,某同学为了测量 A、B 两点之间的河宽,在垂直于大桥 AB 的直线型道路 l 上测得了如下的数据:∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=42.8 米。求大桥 AB 的长(精确到 1 米) 参考数据:sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0,sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5,
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【题目】定义:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k的关联直线.
(1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式;
(3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、BC.当△ABC为直角三角形时,求a的值.
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【题目】如图,直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在一点P,使?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM.
①求二次函数解析式;
②当t﹣2≤x≤t时,二次函数有最大值5,求t值;
③若直线x=4与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将图象P沿直线x=4翻折,得到图象Q,又过点(10,﹣4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.
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