Question

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为△ABC的外角平分线且∠ADB=90°．
（1）求证：AC-BC=$\sqrt{2}$CD；
（2）若Rt△ABC两锐角平分线交于点I，作IP⊥AB于P，当CD=$\sqrt{2}$，IP=1时，求Rt△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥DC交AC于E．只要证明△ADB是等腰直角三角形，△ADE≌△BDC，推出AE=BC，再证明EC=$\sqrt{2}$CD即可解决问题；
（2）设AC=b，BC=a，AB=c，则$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{a+b-c=2}\end{array}\right.$①-②可得c=2a，由△ABC是直角三角形，推出∠CAB=30°，推出b=$\sqrt{3}$a，求出a、b即可；

解答 （1）证明：作DE⊥DC交AC于E．

∵CD为△ABC的外角平分线，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∴DC=DE，EC=$\sqrt{2}$DC，
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠ADE=∠BDC，
∵∠ADO=∠OCB，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠DOC=∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCO=∠ABO=45°，
∵∠ADB=90°
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴DA=DB，
在△ADE和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，
∴AC-BC=EC=$\sqrt{2}$CD．

（2）设AC=b，BC=a，AB=c，
则$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{a+b-c=2}\end{array}\right.$
①-②可得c=2a，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CAB=30°，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a-a=2，
∴a=$\sqrt{3}$+1，b=3+$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）（3+$\sqrt{3}$）=3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用相似三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．