Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S_△ADE+S_△CEF的值是

 

．

Answer 1

分析：过B点作BG⊥AD交DA的延长线于G，得四边形BCDG为正方形，利用旋转法将Rt△BCE绕点B顺时针旋转90°，得△BGE′，根据旋转的性质及已知条件可证△ABE′≌△ABE，设CE=x，用含x的代数式表示△ADE的三边，在Rt△ADE中，由勾股定理求x，再由三角形面积公式及△CEF∽△DEA，可求S_△ADE，S_△CEF．

解答：解：过B点作BG⊥AD交DA的延长线于G，得四边形BCDG为正方形，
又把Rt△BCE绕点B顺时针旋转90°，得△BGE′，
则BE′=BE且∠EBE′=90°，
∵∠ABE=45°，AB=AB，
∴△ABE′≌△ABE，
∴AE′=AE=10，设CE=x，
则AG=10-x，DE=12-x，AD=DG-AG=x+2，
在Rt△ADE中，由（12-x）²+（x+2）²=10²，得x=4或x=6．
∵AD∥CF，
∴△CEF∽△DEA，

S△CEF

S△DEA

=(

CE

DE

)2=（

x

12-x

）²；
又S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

（x+2）（12-x），
∴S_△CEF=

x2(x+2)

2(12-x)

，
当x=4时，S_△ADE=24，S_△CEF=6，故S_△ADE+S_△CEF=30，
当x=6时，S_△ADE=24，S_△CEF=24，故S_△ADE+S_△CEF=48．
故本题答案为：30或48．

点评：本题考查了旋转法解决面积计算的方法．关键是利用旋转构造全等三角形，相似三角形，确定线段的关系，充分运用勾股定理求未知数．