Question

（2013•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE．
（1）求证：△EOD∽△BOC；
（2）若S_△EOD=16，S_△BOC=36，求

AE

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）首先证明△BOE∽△COD，由相似三角形的性质可得

OE

OB

=

OD

OC

，又因为∠EOD=∠BOC，所以：△EOD∽△BOC；
（2）由面积之比可得到对应边之比即

OD

OC

=

2

3

，在△ODC与△EAC中，因为∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，所以△ODC∽△AEC，利用相似的性质即可求出

AE

AC

的值．

解答：（1）证明：在△BOE与△DOC中，
∵∠BEO=∠CDO，∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴

OE

OD

=

OB

OC

，
即

OE

OB

=

OD

OC

，
又∵∠EOD=∠BOC，
∴△EOD∽△BOC；

（2）解：∵△EOD∽△BOC
∴

S△EOD

S△BOC

=(

OD

OC

)2，
∵S_△EOD=16，S_△BOC=36，
∴

OD

OC

=

2

3

，
在△ODC与△EAC中，
∵∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，
∴△ODC∽△AEC，
∴

OD

AE

=

OC

AC

，
即

OD

OC

=

AE

AC

，
∴

AE

AC

=

2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．