Question

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG、DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE．

解答：解：（1）BG=AE．理由如下：
如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中，

BD=AD   ∠BDG=∠ADE   DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（2）证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

BD=AD  ∠BDG=∠ADE  GD=ED

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE．

点评：本题考查了正方形的性质．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．