Question

【题目】如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过B、D两点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1、OA=OC=2，

则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：

，

解得： ，

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+

（2）解：如图，

∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，

∴点Q坐标为（ ， ），

设直线OP解析式为y=kx，

将点Q坐标代入，得： k= ，

解得：k=3，

∴直线OP的解析式为y=3x，

代入y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x，

解得：x=1或x=﹣4，

当x=1时，y=3，

当x=﹣4时，y=﹣12，

∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）

【解析】（1）由旋转的性质：对应线段相等，求出B、D坐标，代入解析式即可;（2）由旋转性质知OB=OD，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，可得DQ=BQ，即点Q为BD的中点；中点坐标公式是中点横纵坐标分别是端点横纵坐标和的一半，可求出Q的坐标，求出OQ的解析式，与抛物线解析式联立可求得坐标.