Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）²+k的图象与x轴相交于点A，B，顶点为C，点D在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形．求此二次函数的表达式．

Answer 1

分析：根据题意，画出图形，可得以下四种情况：
（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；
（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；
（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；
（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下，
解答时都利用四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的条件根据解直角三角形的相关知识解答．

解答：解：本题共有4种情况．
设二次函数的图象的对称轴与x轴相交于点E．
（1）如图①，
当∠CAD=60°时，
因为ACBD是菱形，一边长为2，
所以DE=1，BE=

3

，（1分）
所以点D的坐标（1，1），点C的坐标为（1，-1），
解得k=-1，a=

1

3

．
所以y=

1

3

（x-1）²-1．（2分）


（2）如图②，当∠ACB=60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，-

3

）．
解得k=-

3

，a=

3

，
所以y=

3

（x-1）²-

3

．（4分）
同理可得：y=-

1

3

（x-1）²+1，y=-

3

（x-1）²+

3

．（8分）
所以符合条件的二次函数的表达式有：y=

1

3

（x-1）²-1，y=

3

（x-1）²-

3

，
y=-

1

3

（x-1）²+1，y=-

3

（x-1）²+

3

．

点评：解答此题不仅要熟知二次函数的性质，还要熟悉菱形的性质，结合二次函数图上点的特点，根据解直角三角形的知识，求出相应的边长，得到B、C的坐标，代入解析式求出a的值即可．