Question

10．如图，AB是⊙O的直径，AC是切⊙O于A的切线，BC交⊙O于点D，E是劣弧$\widehat{BD}$的中点，连接AE交BC于点F，若cosC=$\frac{2}{3}$，AC=6，则BF的长为3．

Answer 1

分析 连接AD，由圆周角定理可得△ACD是直角三角形，作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD=4，在Rt△ACB中可计算出BC=9，则BD=BC-CD=5，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设BF=x，则DF=FH=5-x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC的值可求出，再利用比例性质可求出BF．

解答 解：连接AD，作FH⊥AB于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ACD中，∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
∵AC是切⊙O于A的切线，
∴AC⊥AB，
∴△CAB是直角三角形
在Rt△ACB中，∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×6=9，
∴BD=BC-CD=9-4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设BF=x，则DF=FH=5-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=$\frac{2}{3}$=$\frac{FH}{BF}$，
∴$\frac{5-x}{x}$=$\frac{2}{3}$，
解得x=3，
即BF的长为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理的运用以及解直角三角形的有关知识点，题目的综合性较强，有一定的难度，正确做出图形的辅助线是解题的关键．