Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=12-2t，PD=$\frac{4}{3}$t；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

分析 （1）根据BQ=BC-CQ，表示出QB，由PD与BC平行，根据平行得比例表示出PD的长即可；
（2）存在t，使四边形PDBQ为平行四边形，若四边形PDBQ为平行四边形，得到BQ=PD，求出t的值即可；
（3）根据（2）中t的值求出BQ与PD的长，根据三角形ABC与三角形ADP相似，由相似得比例求出AD与BD的长，可得BD与PD不相等，故不存在；若四边形PDBQ为菱形，可得PD=BD=BQ，求出t的值，继而确定出此时Q的速度．

解答 解：（1）QB=12-2t，
∵PD∥BC，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$，
则$\frac{PD}{12}$=$\frac{t}{9}$，
解得：PD=$\frac{4}{3}$t；
故答案为：12-2t；$\frac{4}{3}$t；
（2）∵PD∥BC，当PD=BQ时四边形PDBQ为平行四边形，
∴12-2t=$\frac{4}{3}$t，
解得：t=3.6（秒），
则存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形；
（3）∵t=3.6秒时，BQ=PD=$\frac{4}{3}$t=4.8，
由△ABC∽△ADP，得到AD=$\frac{5}{3}$t=6，BD=15-6=9，
∴BD≠PD，
∴不存在t使四边形PDBQ为菱形；
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=12-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=15-$\frac{5}{3}$t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即$\frac{4}{3}$t=15-$\frac{5}{3}$t，
解得：t=5（秒），
当PD=BQ，t=5秒时，即$\frac{4}{3}$×5=12-5v，
解得：v=$\frac{16}{15}$，
∴当点Q的速度为每秒$\frac{16}{15}$个单位长度时，经过5秒，四边形PDBQ是菱形．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形与菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．