Question

14．在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，△DEC绕点C逆时针旋转，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，FH，HG．

（1）如图1，当∠A=∠EDC=45°，点D在AC边上时，直接猜想FG，HG的数量关系和位置关系是FG=HG，FG⊥HG；
（2）如图2，当∠A=∠EDC=45°，点D不在AC边上时，（1）猜想的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当∠A=∠EDC=30°时，猜想FG，HG的数量关系和位置关系，请直接写出猜想结论．

Answer 1

分析 （1）由中位线性质可知，HG平行于BE且等于BE的一半，FG平行于AD且等于AD的一半，根据题目条件易知AD与BE相互垂直且相等，结论是显然的；
（2）连接AD、BE，易证△ACD≌△BCE，然后可得BE与AD相互垂直且相等，再结合中位线性质不难得出结论；
（3）与（2）类似，连接AD、BE，易证△ACD与△BCE相似，且相似比为$\sqrt{3}$，再结合中位线性质同样得出结论；

解答 解：（1）FG=HG，FG⊥HG；
（2）结论成立，证明如下：连接AD、BE，
设AD与BE交于点M，FG与BE交于点N，

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠EDC=45°，
∴∠ABC=∠DEC=45°，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACD=∠BCE=90°+∠ACE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，
∵∠BAM+∠ABM=∠BAC+∠DAC+∠ABM，
∴∠BAM+∠ABM=∠BAC+∠MBC+∠ABM=∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠AMB=90°，
∵F、G、H分别AB、BD、DE的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$AD，FG∥AD，HG=$\frac{1}{2}$BE，HG∥BE，
∴FG=HG，∠HGE=∠ENF，
∵∠AMB+∠ENF=180°，
∴∠ENF=90°，
∴HGE=90°，即FG⊥HG；
（3）FG⊥HG，FG=$\sqrt{3}$HG．
如图，连接AD、BE，

∵∠A=∠EDC=30°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{CB}=\sqrt{3}$，
∵∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴△DCA∽△ECB，
∴$\frac{AD}{BE}=\sqrt{3}$，
∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴AD⊥BE．
∴AD=$\sqrt{3}$BE且AD⊥BE，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$AD，FG∥AD，HG=$\frac{1}{2}$BE，HG∥BE，
∴FG=$\sqrt{3}$HG且FG⊥HG．

点评 本题为几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、中位线的性质、含特殊角的直角三角形的性质等众多重要知识点，难度中等．添加辅助线构造出全等三角形或相似三角形是解决本题的关键．