【题目】在同一平面内,若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形,则称点P是△ABC的巧妙点.
(1)如图1,求作△ABC的巧妙点P(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,求作△ABC的所有巧妙点P (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并直接写出∠BPC的度数是 .
(3)等边三角形的巧妙点的个数有( )
A.2 B.6 C.10 D.12
【答案】(1)见解析;(2) 40°,160° ,140° ,80°;(3)C.
【解析】
(1)根据题意可知,巧妙点必在某条边的垂直平分线上,所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点;
(2)根据题意分别以A、C为圆心,AC为半径画圆,交BC边的垂直平分线的点即为点P,连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P,最后分类讨论即可求∠BPC的度数;
(3)分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线,再分别以等边三角形的三个顶点为圆心,等边三角形的边长为半径画圆,分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.
解:(1)作BC边的垂直平分线:分别以B、C为圆心,大于的长为半径画弧,连接其圆弧的交点;
同理作AB边的垂直平分线:分别以A、B为圆心,大于的长为半径,连接其圆弧的交点;
AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.
∴点P为所求.
(2)作BC边上的垂直平分线,再分别以A、C为圆心,AC为半径画圆,交BC边的垂直平分线的交点从上至下依次为 ,连接两圆的交点,交CB边的垂直平分线的交点为, 即为所求.
①接,
∵,
∴,
∵
∴;
②连接,
∵是AC、BC边的垂直平分线的交点,
∴
∴,
即:
③接 ,
∵,为BC边上的垂直平分线,
∴
∵,
∴
∴;
④连接,
∵,,为BC边上的垂直平分线,
∴,
∴,;
综上所述的度数可能为.
(3)分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线,再分别以等边三角形的三个顶点为圆心,等边三角形的边长为半径画圆,分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图:巧妙点P有10个,故选C.
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【题目】下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知:∠AOB. 求作:一个角,使它等于∠AOB.作法:如图
(1)作射线O'A';
(2)以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D;
(3)以O'为圆心,OC为半径作弧C'E',交O'A'于C';
(4)以C'为圆心,CD为半径作弧,交弧C'E'于D';
(5)过点D'作射线O'B'.
则∠A'O'B'就是所求作的角.
请回答:该作图的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
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【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为的网格中,点、、均落在格点上.
(1)的面积等于________;
若四边形是中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明)________.
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【题目】如图,在Rt直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,则下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是_______________.
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【题目】如图,在中,,,,,,分别是,,的中点.点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动;点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度匀速运动,过点作射线,交折线于点.点,同时出发,当点绕行一周回到点时停止运动,点也随之停止.设点,运动的时间是秒.
(1),两点间的距离是________;
射线能否把四边形分成面积相等的两部分?若能,求出的值;若不能,说明理由;
当点运动到折线上,且点又恰好落在射线上时,求的值;
连接,当时,请直接写出的值.
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【题目】如图,点P、M、N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PV⊥AC于点N,若AB=12cm,求CM的长为______cm.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1的解析式为y=x,直线l2的解析式为y=-x+3,与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线l1与l2交于点C.点P是y轴上一点.
(1)写出下列各点的坐标:点A( , )、点B( , )、点C( , );
(2)若S△COP=S△COA,请求出点P的坐标;
(3)当PA+PC最短时,求出直线PC的解析式.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是( )
A. ac>0 B. 当x>0时,y随x的增大而减小
C. 2a﹣b=0 D. 方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1,x2=3
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【题目】已知:如图,∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 ( )
A. AB=AC B. BD=CD C. ∠B=∠C D. ∠BDA=∠CDA
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