Question

11．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE²=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=$\frac{3}{5}$，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例$\frac{CE}{EH}=\frac{EA}{CE}$，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．

解答 （1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EH}=\frac{EA}{CE}$，
∴CE²=EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=$\frac{3}{5}$，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×$\frac{3}{5}$=6，
∴EA=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴BE=CE=6，
∵CE²=EH•EA，
∴EH=$\frac{{6}^{2}}{8}$=$\frac{9}{2}$，
在Rt△BEH中，BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．