Question

18．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x³+2x²-x-2因式分解的结果为（x-1）（x+1）（x+2），当x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x³-xy²分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x³y+xy³分解因式后得到的密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x³+（m-3n）x²-nx-21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）先分解因式得到x³-xy²=x（x-y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y=14，x²+y²=100，再利用完全平方公式可计算出xy=48，然后与（1）小题的解决方法一样；
（3）由x=27时可以得到其中一个密码为242834，可得x³+（m-3n）x²-nx-21因式分解为（x-3）（x+1）（x+7），再利用多项式的乘法法则展开，然后与x³+（m-3n）x²-nx-21比较，即可求出m、n的值．

解答 解：（1）x³-xy²=x（x-y）（x+y），
当x=21，y=7时，x-y=14，x+y=28，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=14}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=100}\end{array}\right.$，
解得xy=48，
而x³y+xy³=xy（x²+y²），
所以可得数字密码为48100；
（2）由题意得：x³+（m-3n）x²-nx-21=（x-3）（x+1）（x+7），
∵（x-3）（x+1）（x+7）=x³+5x²-17x-21，
∴x³+（m-3n）x²-nx-21=x³+5x²-17x-21，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3n=5}\\{n=17}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=56}\\{n=17}\end{array}\right.$．
故m、n的值分别是56、17．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键；（3）小题中得出x³+（m-3n）x²-nx-21可因式分解为（x-3）（x+1）（x+7）是解题的关键．