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精英家教网在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F为BC的中点,连接DE、DF、EF,则结论:①DF=EF;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=
2
DE中,一定正确的有(  )
A、2个B、3个C、4个D、5个
分析:根据直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义可知.
解答:解:①∵BD、CE为高,∴∠BDC=∠CEB=90°,又∵F为BC的中点,∴DF=
1
2
BC,EF=
1
2
BC,∴DF=EF;
②∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,∴△ADB∽△AEC,∴AD:AB=AE:AC;
③∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵DF=CF,EF=BF,∴∠BEF+∠CDF=120°,∴∠BFE+∠CFD=120°,∴∠DFE=60°,又∵DF=EF,∴△DEF是等边三角形;
④∵∠BAC=60°,BD、CE为高,
∴∠ABD=∠ACE=30°,
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°,
∴∠CBD=60°-∠BCE,
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•(sin∠BCE+sin∠CBD)=BC•[sin∠BCE+sin(60°-∠BCE)],
不一定等于BC;精英家教网
⑤∵∠ABC=45°,∴BE=
2
2
BC=
2
DE.
正确的共4个.
故选C.
点评:本题综合性较强,有一定的难度.主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义.
练习册系列答案
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在锐角△ABC中,a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边,O为其外心,则O点到三边的距离之比为(  )
A、a:b:c
B、
1
a
1
b
1
c
C、cosA:cosB:cosC
D、sinA:sinB:sinC

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2
DE中,一定正确的有(  )

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①EF=FD;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形.

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在锐角△ABC中,已知
cosA-
1
2
+|tanB-
3
|=0
,且AB=4,则△ABC的面积等于(  )

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