Question

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，∠MPN=90°。

（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB， PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=_____PM；
（2）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值；
（3）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值。

Answer 1

解：（1）；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F， 则∠PEM=∠PFN=90°， 又∠ABC=90°， ∴四边形BFPE是矩形， ∴∠EPF=90°， ∵∠MPN=90°， ∴∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90° ∴∠MPE=∠NPF， ∴△PFN∽△PEM， ∴，由（1）可知PF=PE，∴=；
（3）在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F， ∴四边形BFPE是矩形， ∴∠EPF=90°， ∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°， 可知∠EPM=∠FPN， ∴△PFN∽△PEM， ∴， 又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°， ∴PF=PC，PE=PA， ∴，∵PC=PA， ∴。