Question

将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD．
（1）求证：DB∥CF；
（2）当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB．

Answer 1

分析：（1）连接OF．判断OBCF是平行四边形；
（2）首先分析相似三角形的对应顶点，从而得到角对应相等，再运用解直角三角形的知识求解．

解答：（1）证明：连接OF，如图．
∵AB切半圆O于F，
∴OF⊥AB．
∵CB⊥AB，∴BC∥OF．
∵BC=OD，OD=OF，
∴BC=OF．
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DB∥CF．

（2）解：以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°．
∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，
∴∠OBF＞∠A，
∵△OFB与△ABC相似，
∴∠A与∠BOF是对应角．
∴∠BOF=30°．
∴OB=

OF

cos30°

=

4 3

3

；
故OB的长为

4 3

3

．

点评：此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够正确分析相似三角形的对应顶点，从而得到有关的角对应相等．