Question

10．在等腰△ABC中，
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线      段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为30°；
（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将   线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．
①根据题意在图2中补全图形；
②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：
思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；
思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；
思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；
…
请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）
（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是k（BE+BD）=AC．（直接给出结论无须证明）

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，由线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，得到AB⊥DE，于是得到结论；
（2）思路1：如图2（a），连接AE，思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图3，连接AE，根据已知条件得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，于是得到∠EAB=∠DAC，根据全等三角形的性质得到CD=BE；根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为线段BC中点，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，
∴AB⊥DE，
∴∠BDE=30°；
故答案为：30°；
（2）思路1：如图2（a），连接AE，
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△AEB△与ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE；
思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DAF=∠EDB，
在△ADF与△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠DAF=∠BDE}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DEB，
∴DF=BE=CD；
思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵CD=BG，
∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DAF=∠EDB，
在△ADC与△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=AC}\\{∠DAF=∠EDB}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△DEG，
∴CD=EG=BG=60°，
∴BE=BG=CD；

（3）k（BE+BD）=AC，
如图3，连接AE，
∵AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
在△AEB△与ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE；
∵BC=BD+CD，
∴BC=BD+BE，
∵AC=kBC，
∴AC=k（BD+BE），
故答案为：k（BE+BD）=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．