分析 (1)如图1中,只要证明△BDN∽△CDA即可.
(2)如图2中,连接AN,设EN=a,则CE=a,AN=2a,AE=EB=$\sqrt{3}$a,想办法用a表示BN、BC,即可解决问题.
(3)如图3中,设AD=a,BD=b,则AB=CD=a+b,用a、b表示DN、MN,求出MN+DN即可解决问题.
解答 (1)证明:如图1中,
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDN=∠ADC=∠AEB=90°,
∵∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DNB=90°,
∴∠A=∠BND,
∴△BDN∽△CDA,
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DN}{AD}$,
∴AD•DB=DN•DC.
(2)解:如图2中,连接AN.
∵AD=DC,∠ADC=90°,
∴∠DAC=∠DCA=45°,
∵∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°-∠EAB=45°,
∴∠DBN=∠DNB=45°,
∴DN=DB,
在△ADN和△CDB中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADN=∠CDB}\\{DN=DB}\end{array}\right.$,
∴△ADN≌△CDB,
∴∠DAN=∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-45°=15°,
∴∠EAN=30°,设EN=a,则CE=a,AN=2a,AE=EB=$\sqrt{3}$a,
∴BN=$\sqrt{3}$a-a,BC=2EC=2a,
∴BN+BC=$\sqrt{3}$a-a+2a=$\sqrt{3}$a+a,AC=$\sqrt{3}$a+a,
∴$\frac{BN+BC}{AC}$=1.
(3)解:如图3中,设AD=a,BD=b,则AB=CD=a+b,
∵AD•DB=DN•DC,
∴DN=$\frac{ab}{a+b}$,DM=BM-DB=$\frac{a+b}{2}-b$=$\frac{a-b}{2}$,
在RT△MND中,MN=$\sqrt{D{M}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{a-b}{2})^{2}+(\frac{ab}{a+b})^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2(a+b)}$,
∴NM+DN=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2(a+b)}$+$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}$=$\frac{AB}{2}$,
∴$\frac{MN+DN}{AB}$=$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是巧妙利用参数,把几何问题转化为代数问题解决,学会这种数形结合的方法,属于中考常考题型.
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