Question

定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90 °，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形，我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S_n。
①若△DEF的面积为1000，当n为何值时，3＜S_n＜4?
②当n>1时，请写出一个反映S_n-1，S_n，S_n+1之间关系的等式（不必证明）

Answer 1

解：（1） 正确画出分割线CD （如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的 分割线）
理由：∵∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；
（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为
∴S=
当n=3时，S₃= ≈15.62
当n=4时，S₄ =≈3.91
当n=4时，3＜S₄＜4；
②S²_n= S×S。