Question

已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是⊙O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG∥AD吗？说明理由；
（2）证明：点E为OB的中点．

Answer 1

（1）CG∥AD，理由如下：


∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；

（2）证法一：
证明：如图（1），连接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，
且CF、AE过圆心O，

AC

=

AD

，

CD

=

AC

，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；                  
在Rt△COE中，OE=

1

2

OC，
∴OE=

1

2

OB，
∴点E为OB的中点；

证法二：
证明：如图（2），连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，
∵△BDE∽△OCE，
∴

BE

OE

=

ED

CE

，
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴ED=CE，
∴

BE

OE

=

ED

CE

=1，即BE=OE，
∴点E为OB的中点．