Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）填空：
①当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；
②在①的条件下，BC=6cm时，四边形ADFE的面积是6$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
（3）设菱形AEFD的边长为a，易知△AEF、△AFD都是等边三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．
证明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．
故答案为60．

（3）解：∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，
∴△AEF、△AFD都是等边三角形，
由题意：2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=6$\sqrt{3}$，
∴a²=12，
∵a＞0，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AE=2$\sqrt{3}$，
在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{3}$，∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6．
故答案为6．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²（a是边长）．