Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，DC∥AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=

1

2

AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°，证明DE∥CB；
（2）当AC=

1

2

AB或AB=2AC时，DE∥BC．DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=

1

2

AB．

解答：（1）证明：连结CE．．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
∴DE∥BC．
在△ADE与△CDE中，

AD=DC DE=DE AE=CE

，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，
若DC∥BE，
则∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

，sin30°=

AC

AB

=

1

2

，AC=

1

2

AB，或AB=2AC，
当AC=

1

2

AB或AB=2AC时，DE∥BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定．