Question

【题目】如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在一起，连接BD和CE，交于点F．

（1）求证：BD＝CE；

（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2﹣2

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得出AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，即可得出答案；

（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质得出EF＝AB＝2，解直角三角形求出CH，求出CE，即可求出答案．

（1）证明：∵△ABC≌△ADE，AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝30°，

∴∠BAC＝∠DAE＝30°，

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB∥CE，AB＝EF，

由（1）知：AB＝AC＝AE，

∴AB＝AC＝AE＝2，

即EF＝2，

过A作AH⊥CE于H，

∵AB∥CE，∠BAC＝30°，

∴∠ACH＝∠BAC＝30°，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝1，CH＝＝＝，

∵AC＝AE，CH⊥CE，

∴CE＝2CH＝2，

∴CF＝CE﹣EF＝2﹣2．