Question

菱形ABCD中，∠BAD是锐角，AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上一动点（不与点D重合），连接EC并延长和AB的延长线交于点F，连接AE．
（1）比较∠F和∠ABD的大小，并说明理由；
（2）当△BFC有一个内角是直角时，求证：△BFC∽△EFA；
（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角），且AC=12，DE=5时，求△BFC与△EFA的相似比．

Answer 1

解：（1）∵∠ABD为△BFE的一个外角，
∴∠ABD＞∠F；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠ABD=∠ABC，
∴∠BAD=∠FBC，∠BAD+∠ABC=180°
又∵∠BAD为锐角，
∴∠FBC为锐角，∠ABC为钝角，
∴∠ABD为锐角，
由（1）得：∠F也为锐角，
又∵△BFC有一个角是直角，
∴∠BCF为直角，
∵在△ABE和△CBE中，

∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∴∠FCB=∠FAE=90°，
∴△BFC∽△EFA．

（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角）时
∵∠BCE为△BFC的外角，
∴∠BCE＞∠FBC，∠BCE＞∠F，
∴∠BAE=∠BCF=∠BCE=90°，∠FBC=∠AEF，
∴∠OAD=∠OEA
∴△OAD∽△OEA，
∴AO²=OD×OE，
设OD=x，列方程得：36=x（x+5），
解得：x=4，
∴BC：AE=AD：AE=AO：OE=2：3．
分析：（1）根据三角形外角的性质可作出判断；
（2）推出这个直角为∠BCF，然后证明△△ABE≌△CBE，得出∠FCB=∠FAE=90°，即可证明结论．
（3）根据（2）可得∠BAE=∠BCF=∠BCE=90°，∠FBC=∠AEF，证明△OAD∽△OEA，得出AO²=OD×OE，设OD=x，解出x的值，继而可得出相似比．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键一步在于得出若△BFC与△EFA相似，则∠BCF=∠BAE=90°，有一定难度．