Question

5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若BC=6，则线段EF的长为2．

Answer 1

分析 连接AE并延长交BD于M，连接AF并延长交CD于N，根据三角形的重心是中线的交点可得DM=$\frac{1}{2}$BD，DN=$\frac{1}{2}$CD，然后求出MN的长，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AE=2ME，AF=2NF，再根据相似三角形对应边成比例列出求解即可．

解答 解：如图，连接AE并延长交BD于M，连接AF并延长交CD于N，
∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，
∴DM=$\frac{1}{2}$BD，DN=$\frac{1}{2}$CD，AE=2ME，AF=2NF，
∵BC=6，
∴MN=DM+DN=$\frac{1}{2}$（BD+CD）=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵$\frac{AE}{AM}=\frac{AF}{AN}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，∠EAF=∠MAN，
∴△AEF∽△AMN，
∴$\frac{EF}{MN}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{EF}{3}=\frac{2}{3}$，
解得EF=2．
故答案为：2

点评 本题考查了三角形重心，是偏僻题目，主要利用了三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．