Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∠A=∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若MD=6，BC=12，求BF的长度．（结果可保留根号）

Answer 1

分析 （1）先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DM=AB=6，根据矩形的性质得出CD=AB=6，求出CF，根据勾股定理求出BF即可．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=∠ADC，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠M，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DME中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MED}\\{∠ABE=∠M}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB=DM=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=DM=6，∠C=90°，
∵F为CD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．