Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

Answer 1

(1)证明见解析
(2)BC=

试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而可得∠BAD+∠ABD=90°，由圆周角定理可得∠BAD=∠DEC及已知可得∠ABC=90°，即BC是⊙O的切线；
（2）由已知可得△ABC∽△BDC，利用对应边成比例即可求出BC的长．
试题解析：（1）∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2)∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC²=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC=．