Question

【题目】如图，点A是双曲线y＝上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝____．

Answer 1

【答案】﹣9．

【解析】

连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC=EO．设点A坐标为（a，b），则ab=3，设点C坐标为（x，y），从而有FCOF=-xy=-9，即k=xy=-9．

解：∵双曲线y＝关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称．

∴OA＝OB．

连接OC，AC，如图所示．

∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，

∴△ABC是等边三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，

∴tan∠OAC＝＝，

∴OC＝OA．

过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，

∴△AEO∽△OFC．

∴．

∵OC＝OA，

∴OF＝AE，FC＝EO．

设点A坐标为（a，b），

∵点A在第一象限，

∴AE＝a，OE＝b．

∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．

∵点A在双曲线y＝上，

∴ab＝3．

∴FCOF＝ba＝3ab＝9，

设点C坐标为（x，y），

∵点C在第四象限，

∴FC＝x，OF＝﹣y．

∴FCOF＝x（﹣y）＝﹣xy＝9．

∴xy＝﹣9．

∵点C在双曲线y＝上，

∴k＝xy＝﹣9．

故答案为：﹣9．