Question

（2012•闸北区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，与AC交于点E，AD²=BD•ED．
（1）求证：△ADE∽△BDA
（2）如果BA=10，BC=12，BD=15，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据AD²=BD•ED得出

AD

ED

=

BD

AD

，再根据∠ADE=∠BDA，即可证出△AED∽△BDA．
（2）根据△AED∽△BDA，得出∠AED=∠BAD，再通过证明△EBC∽△ABD，得出

BC

BD

=

BE

BA

，再把BA、BC、BD的值代入即可求出BE的长．

解答：解：（1）证明：∵AD²=BD•ED，
∴

AD

ED

=

BD

AD

，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BDA．

（2）∵△AED∽△BDA，
∴∠AED=∠BAD．
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC=∠BAD．
∵BD平分∠ABC，即∠EBC=∠ABD，
∴△EBC∽△ABD．
∴

BC

BD

=

BE

BA

．
∵BA=10，BC=12，BD=15，
∴

12

15

=

BE

10

，
∴BE=8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；关键是综合利用三角形的判定与性质列出比例式求出线段的长．