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17.如图,四边形ABCD为矩形,O为AC中点,过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形.
(2)若AC=8,EF=6,求BF的长.

分析 (1)由条件可先证四边形AFCE为平行四边形,再结合线段垂直平分线的性质可证得结论;
(2)由菱形的性质可求得AE=CF=5,设BF=x,在Rt△ABF和Rt△ABC中,分别利用勾股定理可得到关于x的方程,可求得BF的长.

解答 (1)证明:
∵O为AC中点,EF⊥AC,
∴EF为AC的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA.
∵AE∥CF,
∴∠EAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠ECA,
∴AF∥CE,
∴四边形AFCE平行四边形.
又∵EA=EC,
∴平行四边形AFCE是菱形.
(2)∵四边形AFCE是菱形,AC=8,EF=6,
∴OE=3,OA=4,
∴AE=CF=5,
设BF=x,
在Rt△ABF中,AB2=AF2-BF2,在Rt△ABC中,AB2=AC2-BC2
∴52-x2=82-(x+5)2
解得$x=\frac{7}{5}$,
∴$BF=\frac{7}{5}$.

点评 本题主要考查菱形的判定和性质,掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解题的关键,在求BF的长时,注意方程思想的应用.

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