Question

你能化简（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a-1）（a+1）=______；（a-1）（a²+a+1）=______；
（a-1）（a³+a²+a+1）=______；…
由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=______．
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1；
②若a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0，则a⁶等于多少？

Answer 1

解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；…由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1；
（2）①根据得出的结论得：2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1=（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1）（2-1）=2²⁰⁰-1；
②根据题意得：（a-1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a⁶-1，
将a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0代入得：a⁶=1．
故答案为：（1）a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1
分析：（1）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，即可求出所求式子的结果；
（3）①利用得出的结论计算即可得到结果；②利用得出的结论计算即可得到结果．
点评：此题考查了整式的混合运算，弄清规律是解本题的关键．