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20.如图  A是以BC为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线交于点D,E是BD的中点,延长AE与CB的延长线相交于点F.求证:AF是⊙O的切线.

分析 利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到∠EAB=∠EBA,结合⊙O的切线得出OA⊥AF,从而得出AF是⊙O的切线.

解答 解:连接AB,OA,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵DB是⊙O的切线,
∴DB⊥BC,
∴∠DBO=90°,
在RT△ABD中,E是斜边BD的中线,
∴AE=DE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠EAB+∠OAB=∠EBA+∠OBA,
∴∠EAO=∠DBO=90°,
∴OA⊥AF,
∴AF是⊙O的切线.

点评 本题考查了切线的判定和性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质,作出适当的辅助线是解答此题的关键.

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