Question

如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△A′B′C′，A B分别与A′C，A′B′相交于D、E，如图（乙）所示．
①△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′？说明理由；
②求△ACB与△A′B′C′的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（若取近似值，则精确到0.1）？

Answer 1

分析：（1）根据题意，结合旋转的性质：可得△A′CF是等边三角形，进而可得∠ACA′=90°-60°=30°，故至少应旋转30°；
（2）根据题意分别求得△A′DE的面积与△ABC的面积；观察图形分析可得四边形DCFE的面积为：S_△A’CF-S_△A′DE，代入数据可得答案．

解答：解：（1）∵ACFG是正方形，A'B′经过点F，
∴A′C=CF．
又∵∠A′=60°，
∴△A′CF是等边三角形．（2分）
∵∠A′CF=60°，
∴∠ACA′=90°-60°=30°．
∴△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′．（5分）

（2）∵∠ACA′=30°，∠BAC=60°，
∴∠A′DE=90°．
又∵AC=2，
可求得CD=

3

，A′D=2-

3

．（6分）
在Rt△A′DE中，
DE=A′Dtan60°=（2-

3

）•

3

=2

3

-3．
∴△A′DE的面积为：

1

2

A′D•DE=

1

2

（2-

3

）•（2

3

-3）=

7

2

3

-6．（8分）
又∵A'B′=4，A′F=2，
∴F是A'B′的中点．
∴△A′CF的面积=

1

2

△ABC的面积．
而B′C=A′C•tan60°=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，S_△A’CF=

3

，
∴四边形DCFE的面积为：

3

-（

7

2

3

-6）=

3

-

7

2

3

+6=6-

5

2

3

．（10分）
（若取近似值，则结果应约为1.7．）

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．